Question

（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当>0时，；

（Ⅱ）证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，再构造新函数，用导数法求解.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知，单调递增，对任意

因此，存在唯一使得即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有最小值，的值域是

【考点】函数的单调性、极值与最值

【名师点睛】求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f （x）的定义域；

（2）求导数f ′（x）；

（3）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）解出相应的x的范围．

当f ′（x）＞0时，f （x）在相应的区间上是增函数；当f ′（x）＜0时，f （x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．

注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。