Question

已知函数f（x）=x²﹣2cosx，对于上的任意x₁，x₂，有如下条件：①x₁＞x_2；②；  ③|x₁|＞x_2；④x₁＞|x₂|，其中能使恒成立的条件个数共有（  ）

A．1个       B．2个      C．3个       D．4个

Answer

C

【解析】

试题分析：利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．

【解析】
∵f（x）=x2﹣2cosx，∴f′（x）=2x+2sinx，

∴当x=0时，f′（0）=0；当x∈[﹣，0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；

当x∈（0，]时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．

∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0﹣1=﹣1．

∵x∈[﹣，]，都有f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数．

根据以上结论可得：

①当x1＞x2时，则f（x1）＞f（x2）不成立；

②当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|，则f（|x1|）＞f（|x2|），f（x1）＞f（x2）恒成立；

③当|x1|＞x2时，则f（x1）=f（|x1|）＞f（x2）恒成立；

④x1＞|x2|时，则f（x1）＞f（|x2|）=f（x2）恒成立．

综上可知：能使f（x1）＞f（x2）恒成立的有②③④．

故选：C．