Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义，曲线在处的切线方程的斜率就是，写出点斜式方程即可；（2）因为，根据分类讨论，分类讨论时，恒成立，在上单调递增，所以，符合题意．若 ，则当时，，单调递减，分析定义域端点与的大小关系，若，则当，即时，则当时，，符合题意. 当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意.

试题解析：（1）当时，，

即曲线在处的切线的斜率，又

所以所求的切线方程是

（2）易知

若，则恒成立，在上单调递增；

若 ，则当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

又，所以若，则当时，，符合题意.

若，则当，即时，则当时，，符合题意.

当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意.

综上，实数的取值范围是

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数单调区间、最值；3分类讨论．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、分类讨论的思想和方法，属于难题．利用导数求函数的最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．本题可以通过分类讨论，知函数在所求区间上增或者减，或者先增后减，从而求出最大值．