Question

已知椭圆的右焦点为，且点 在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点做圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，证明:为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据焦点得：，又在椭圆上，所以，解得，从而求椭圆的标准方程为；（2）设点,写出两切线方程化简得，①，，②，代入点得，，，从而直线的方程为，求其截距，，所以．

试题解析：（1）由题意得，，所以，

又点在椭圆上，所以，解得

所以椭圆C的标准方程为

（2）由（1）知，设点，

因为M,N不在坐标轴上，所以，

直线QM的方程为化简得，①

同理可得直线QN的方程为，②

把点Q的坐标带入①②得，

所以直线MN的方程为，令，得，令，得，又点Q在椭圆上，

所以，即，为定值.

考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系．

【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题．解决本类问题时先根据条件求出椭圆的标准方程是基础，然后先讨论直线斜率存在时情况，利用直线与圆锥曲线的位置关系，得到两点满足的切线方程，又两切线都过点，根据两点确定一条直线得到的方程，再求其截距即可证明为定值．