Question

在杨辉三角形中，从第行开始，除以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如图所示．

（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

（2）已知，为正整数，且．求证：任何四个相邻的组合数，，，不能构成等差数列．

Answer

（1）存在，第行；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先借助题设条件建立方程,再通过解方程即可获解；（2）借助，，成等差数列推证即可获证.

试题解析：（1）杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，，组成．

如果第行中有，，

那么，，

解这个联立方程组，得，．

即第行有三个相邻的数，，的比为．

（2）若有，（），使得，，，成等差数列，

则，，

即，

．

所以有，

，

经整理得到，．

两式相减可得，

于是，，，成等差数列，

而由二项式系数的性质可知，

这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．

考点：组合数公式及运用、运算求解能力、推理论证的能力、转化与化归的数学思想及运用.