Question

如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点在单位圆上，且，.

（1）求的值；

（2）若四边形是平行四边形，（i）当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；（ii）设（），点，且.求关于的函数的解析式，并求其单调增区间.

Answer

（1）；（2）（i）；（ii），的增区间为和

【解析】

试题分析：（1）由三角函数定义得，则可求；

（2）∵与互相平分，（i）设中点为，，，利用代入法可求点的轨迹方程；（ii）依题意得，又由（i）知，∴，

∴，则利用辅助角公式，可求其单调增区间

试题解析：（1）由三角函数定义得，所以原式.

（2）∵四边形是平行四边形，所以与互相平分，（i）设中点为，，，则，，又，所以，代入上式得点的轨迹方程为.

（ii）依题意得，又由（i）知，∴，

∴

∵，∴ 或，

∴的增区间为和.

考点：三角函数的定义，代入法求轨迹方程，三角函数的性质