Question

已知数列的首项，前项和为，且．

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

Answer

（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题目条件构造数列，再结合等比数列的定义，即可证明数列是等比数列，进而可求得数列的通项公式；（2）根据（1）的结论，再利用错位相减法即可求得数列的前项和.

试题解析：（1）由已知，

当时，

两式相减得，，于是

当时，，即，所以

此时，且

所以，数列是首项为，公比为的等比数列

所以，，即

（2）令，则，于是

两式相减得，

所以

考点：1、等比数列；2、通项公式；3、错位相减法.

【思路点晴】本题是一个关于等比数列以及错位相减法方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：对问题（1）根据题目条件构造数列，再结合等比数列的定义，即可证明数列是等比数列，进而可求得数列的通项公式；对问题（2）根据（1）的结论，再利用错位相减法即可求得数列的前项和.