Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,,且

（1）求证：平面平面

（2）若E、F分别为线段上的一点（端点除外），满足,是否存在使得为直角三角形，若存在求出所有满足条件的，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）通过平面SAB内的直线BC垂直平面SAB，利用平面与平面垂直的判定定理证明两面垂直；

（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），满足（0＜λ＜1），存在λ，使得△AEF为直角三角形，分别通过三角形的三个角为90°，通过直线与平面垂直，求出满足题意的λ值，或推出矛盾的结果，即可说明存在λ

试题解析：（1）∵平面，

∴

∵底面为直角梯形，，，

∴

∵

∴平面

∵平面

∴平面平面

（2）存在，使得为直角三角形.

若，即

由（1）知，平面，∵平面，∴ ，

∵，

∴，

∴，

在中，， ，

，，

.

②若，即由①知，，

平面，∴平面，

又因平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，

∴.

③若，即由（ⅰ）知，，∴

又∵平面，平面，

∴ ，∴平面

∴这与相矛盾，故

综上，当且仅当，使得为直角三角形.

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定