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已知函数. (1)是否存在及过原点的直线,使得直线与曲线均相切?若存在,求值及直...

已知函数满分5 manfen5.com.

(1)是否存在满分5 manfen5.com及过原点的直线满分5 manfen5.com,使得直线满分5 manfen5.com与曲线满分5 manfen5.com均相切?若存在,求满分5 manfen5.com值及直线满分5 manfen5.com方程;若不存在,请说明理由;

(2)若函数满分5 manfen5.com在区间满分5 manfen5.com上是单调函数,求满分5 manfen5.com的取值范围

 

(1)存在及,使得直线与曲线均相切;(2). 【解析】 试题分析:(1)先求过原点且与相切的切线方程:,再利用它与也相切,可得方程,进而解得,从而得到正解;(2)先求导,再研究的分母,将问题转化为在上恒成立,再进行分类讨论,进而求得正解. 试题解析:(1)∵,设曲线在点处切线过原点,则切线方程为, ∵点在切线上,∴,∴,∴切线方程为, 设直线与曲线切于点, ∵,∴,∴. 又∵,∴, ∴,解得,∴.(4分) 故存在及,使得直线与曲线均相切. (2),, 令,则, 易知在上单调递减,从而. ①当时,即时,,在区间上单调递增, ∵,∴在上恒成立,即在上的恒成立. ∴在区间上的单调递减,∴满足题意. ②当时,即时,∵,当且时,, 故函数存在唯一零点,且在上单调递增,在上单调递减, 又∵,∴在上单调递增. 注意到,∴在上单调递减,这与在区间上是单调函数矛盾,∴不合题意. 综合①②得,的取值范围是. 考点:1、导数的几何意义;2、利用导数研究函数的单调性;3、利用导数研究函数的极值;4、不等式的恒成立. 【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值和不等式的恒成立,属于难题.将问题转化为在上恒成立是解决本题的关键之处,再对进行分类讨论是本题的难点,巧设零点是本题的经典之处,还要求考生必须注意到,从而在上单调递减,这与在区间上是单调函数矛盾,从而判定不合题意.  
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考点分析:
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