Question

如图所示，已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求坐标，结合对称性，易得，即可得抛物线方程；（2）先设、的坐标和直线的方程，由已知可得的解析式，再联立直线的方程和抛物线的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，进而可得关于的关系式，最后利用二次函数的性质可得的取值范围．

试题解析：（1）依题意得，

由，得，∴抛物线在处的切线斜率为，

由抛物线的对称性，知抛物线在处的切线卸斜率为，

∴，解得.

∴抛物线的方程为.

（2）由已知可得，

设则，

∴.

令直线的方程为，

联立方程组消去得，

则，∵，∴.

∴.

∵，∴.

综上所示，面积的取值范围是.

考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、二次函数的性质；4、三角形的面积公式．