Question

如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先证，再证，进而平面，可得平面平面；（2）先建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再求，即得正解.

试题解析：（1）证明：设与相交于点，连接，

∵为菱形，∴为的中点.

∵，∴.∵，∴.

又，∴平面，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）不妨设，∵为菱形，，∴为正三角形,

，，

依题意建立如图所示的空间直角坐标系，.（8分）

设平面的法向量为，则，即

令得.(10分）

，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

考点：1、线面垂直；2面面垂直；3、线面角；4、空间直角坐标系；5、空间向量在立体几何中的应用．

【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、面面垂直、线面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意线面角的正弦值就是法向量与夹角的余弦值，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．