Question

已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是（   ）

A.          B．             C．           D．

Answer

D

【解析】

试题分析：当时，，函数的导数，当时，，当时，，则当时 函数取得极小值；当时，，，此时恒成立，此时函数为增函数，作出函数的图象如图，设，则时，有个根，当时，有个根，当时，有个根，当时，有个根，则有四个相异的实数根，等价为有个相异的实数根，其中，，设，则，即，即，即，故选D.

考点：根的存在性及根的个数判断.

【思路点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．将函数表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．