Question

设函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，，由此可求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）“对任意恒成立”等价于“函数在内最小值大于”，由此构造函数，分、两种情况讨论的最小值，且，进而确认的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)当时，，,.

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（Ⅱ）设，.

则，

当时，在上单调递增，所以，对任意，有，.

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

由条件知，，即.

设，则.

所以在上单调递减，又，所以与条件矛盾.

综上可知，.

考点：导数的几何意义、导数的应用．

【思路点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数的应用.由曲线在切点出的导数值为切线的斜率，可知当，时，曲线在点处的切线方程为；对于第二问可将问题转化为函数在内最小值大于，由于，故需分情况对函数的最小值进行讨论，进而确认最值，从而得出的取值范围.