Question

已知圆及点.

（Ⅰ）若线段的垂直平分线交圆于两点，试判断四边形的形状，并给与证明；

（Ⅱ）过点的直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.

Answer

（Ⅰ）菱形，证明见解析；（Ⅱ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知可得的垂直平分线为，进而求得的中点为，又中点也为，结合可得四边形为菱形；（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，可利用点斜式设直线的方程，圆心到直线的距离为，由垂径定理得故，由基本不等式可求得当时，面积最大值为，且，又，解得或，故所求直线为或．

试题解析：（Ⅰ）四边形OACB为菱形

证明如下：OC的中点为，设，,

设OC的垂直平分线为,代入圆得

∴AB的中点为，则四边形OACB为平行四边形.

又OCAB，∴四边形OACB为菱形．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，则P，Q的坐标为，，

所以．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1=k(x2) ,

则圆心到直线PQ的距离为

由平面几何知识得

∴

当且仅当9d2=d2，即d2=时，SOPQ取得最大值．

2＜，所以SOPQ的最大值为.

此时，由，解得k=7或k=1.

此时直线l的方程为或．

考点：圆与直线的位置关系．

【思路点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系.由已知联立直线与圆的方程，可得弦的中点坐标，由于且中点坐标与中点坐标一致，可知四边形两对角线互相垂直且平分，故四边形为菱形；对于第二问，圆心到直线的距离为，进而可写出的面积的表达式，即，由基本不等式可求得面积最大值，进而确认直线的斜率，另外在求解过程中，应注意直线斜率不存在的特殊情况.