Question

过点作直线与圆交于两点，在线段上取满足的点.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线与圆交于两点，求为圆心）面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）点轨迹方程是（在圆内部分）；（Ⅱ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于直线过点,则设直线方程为,联立直线的方程和圆的方程,写出根与系数关系:,. 点坐标为,根据,可得,即,消去，得，∴ 点轨迹方程是（在圆内部分）；（Ⅱ） 由于圆心到直线的距离为,所以, 所以，∵，∴当时，取得最大，最大值为．

试题解析：

（Ⅰ）设方程为，与圆的方程联立得

设两点坐标分别为，则，

设点坐标为，∵，∴

∴， ∴

消去，得，∴ 点轨迹方程是（在圆内部分）.

（Ⅱ）圆心到直线的距离为

∴

∴

∵ ∴ 当时，取得最大，最大值为

考点：1.直线与圆的位置关系；2.三角形面积最大值．

【方法点晴】直线和圆相交所得弦长的计算：方法一、设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长.方法二、设直线的斜率为，直线与圆的交点坐标为，则弦长.使用哪一个,具体看题目的条件来确定.要求三角形面积的最大值,则先求出面积的表达式,然后考虑导数或基本不等式或二次函数来求最值.