Question

已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.

（1）求直线的斜率；

（2）求椭圆的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意设直线的斜率为,由椭圆的离心率为和,可得,直线被圆截得的线段的长为,利用弦长计算公式,可求出的值； （2）联立直线与椭圆方程, 消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，再由,可求出,得到椭圆的方程.

试题解析：【解析】
（1）由已知得，又由，可得.设直线的斜率为，则直线的方程为，

由已知有，解得.

（2）由（1）得椭圆方程为，直线的方程为，

两个方程联立，消去，整理得，解得或，

因为点在第一象限，可得的坐标为，

由，解得，

所以椭圆方程为.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆相交时,弦长的计算公式；3.一元二次方程的解.

【思路点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交时,由已知条件求直线的斜率和椭圆的方程,属于中档题.在（1）中,由椭圆的离心率为和,可得,即都用表示,再利用直线与圆相交时,弦长的计算公式,解方程得,在（2）中, 联立直线与椭圆方程, 消去，整理得，求出点的坐标,由,可求出,就可求出的值,得到椭圆的方程.