Question

已知抛物线：的焦点在双曲线：的右准线上，抛物线与直线交于两点，的延长线与抛物线交于两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）若的面积等于，求的值；

（3）记直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值．

Answer

（1）（2）（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）由已知可得抛物线：的焦点，即可得到抛物线的方程；（2）利用弦长公式以及三角形面积即可求出的值；（3）分别求出，因为共线，可得 所以同理再利用斜率公式求出，即可得证

试题解析：（1）双曲线：的右准线方程为：

所以，则抛物线的方程为：

（2）设

由得

解得

（3）设则

因为共线，所以即

解得：（舍）或 所以同理

, 故（定值）

考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系