Question

正项数列:，满足: 是公差为的等差数列， 是公比为2的等比数列．

（1）若，求数列的所有项的和；

（2）若，求的最大值；

（3）是否存在正整数，满足?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）存在满足题设．

【解析】

试题分析：（1）依据题设确定所求数列中的项的特征，再利用数列和的定义求解；（2）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数的范围．

试题解析：【解析】
（1）由已知，

故为：2，4，6，8，10，12，14，16；公比为2，则对应的数为2，4，8，16，

从而即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；

此时

（2）是首项为2，公差为2 的等差数列，

故，从而，

而首项为2，公比为2的等比数列且，

故有；即,即必是2的整数幂

又，要最大，必需最大，，故的最大值为，

所以，即的最大值为1033

（3）由数列是公差为的等差数列知，，而

是公比为2的等比数列，则，故，即，

又，，则

，即，则，即

显然，则，所以，将，代入验证知，

当时，上式右端为8，等式成立，此时，

综上可得：当且仅当时，存在满足等式

考点：1、数列求和的定义及等差、等比数列的知识；2、数列最值的求解和推理论证的能力及运用；3、存在型问题的求解方法；4、转化化归的能力、运算求解的能力和分析问题解决问题的能力．