Question

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．

①求直线的斜率；

②求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）依据题设及点在椭圆上建立方程组即可获解；（2）①可利用点差法或待定法进行求解可直接获解；②设直线的方程为，再建立面积关于的函数，最后求其最值．

试题解析：（1）由题意得：，

∴，

所以椭圆的方程为

（2）①法一、设，直线的斜率为

则，∴，

∴

又直线在线段上，所以，

所以

法二、设，直线的方程为，

则，∴，

由题意，，

所以

∴，

又直线在线段上，所以，

所以，∴

法三、设，直线的方程为，

则，∴，

由题意，

所以

∴

又直线在线段上，所以，

在直线上，∴

解得：

②设直线的方程为，

则，∴，

所以

所以

原点到直线的距离

∴

当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值．

考点：1、椭圆的定义及离心率等有关概念；2、直线与椭圆的位置关系；3、目标函数的最值及求解方法；4、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．

【易错点晴】本题主要考查的圆锥曲线中的代表椭圆的有关性质与知识，第（1）问中的问题借助题设建立方程组求出了基本量，体现了方程思想的运用；第（2）通过直线与椭圆的位置关系为平台，考查方程与函数思想和运算求解能力的运用，体现了有效考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，体现了知识运用的综合性、灵活性．