Question

设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦，并设它们的斜率分别为.

（1）求拋物线的方程；

（2）若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；

（3）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.

Answer

（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析，.

【解析】

试题分析：（1）设出所求拋物线的方程，把代入即可求得的值，即得抛物线的方程；（2）设出坐标，根据斜率公式写出，由题中的条件可得直线的斜率恒为定值，且值为；（3）利用点斜式写出直线的方程.

试题解析：（1）依题意，可设所求拋物线的方程为,

因拋物线过点，故，拋物线的方程为.

（2）设，则，

同理

,

，即直线的斜率恒为定值，且值为.

（3） .

直线的方程为 ，即.

将代入上式得

即为直线的方程，

所以直线恒过定点，命题得证.

考点：1、抛物线；2、直线与方程；3、直线与圆锥曲线的位置关系．