已知曲线
，将曲线
绕坐标原点逆时针旋转
后，求得到的曲线
的方程.
如图，在
中，
是
的中点，
是
的中点，
的延长线交
于
.
（1）求
的值；
（2）若
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的值.
从数列
中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列，已知无穷等比数列的公比为
.
（1）若
.
①求数列的通项公式；
②若
分别为等差数列
的第
项和第
项，试求数列的前
项和
.
（2）证明：当
时，数列不存在无穷等差子数列.
已知函数
.
（1）当
时，求函数
的最小值；
（2）若函数
有四个不同的零点，求
的取值范围.
如图，已知椭圆
的左、右焦点为
为椭圆上一点，
为椭圆上顶点，
在
上，
.
（1）求当离心率
时的椭圆方程；
（2）求满足题设要求的椭圆离心率的取值范围；
（3）当椭圆离心率最小时，若过
的直线
与椭圆交于
(不同于点
)两点，试问：
是否为定值？并给出证明.
学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为
元，用电炉烧开水每吨开水费为
元，
.其中
为毎吨煤的价格，
为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水.
（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；
（2）如果每百度电价不低于
元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？
