Question

从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列，已知无穷等比数列的公比为.

（1）若.

①求数列的通项公式；

②若分别为等差数列的第项和第项，试求数列的前项和.

（2）证明：当时，数列不存在无穷等差子数列.

Answer

（1）① ，②；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）①利用等比数列的通项公式求出公比，即可得出数列的通项公式；②根据题设及数列的通项公式求出进而求出等差数列的首项和公差为，即可写出数列的前项和；（2）假设当时，数列存在无穷等差子数列…，其公差为．再分和两种情况，推出与是公差为的等差数列相矛盾，进而可知假设不成立.

试题解析：（1） ①由已知得，解得，所以.

②由①得则设的公差为，则有

解得，所以的前项和.

（2）反证法）假设存在无穷等差子数列…，其公差为.

(ⅰ) 若，则，取，则，即

，从

这与是公差为的等差数列相矛盾

（ⅱ）若，则，取，则，即

，从

这与是公差为的等差数列相矛盾.综上，当时，数列不存在无穷等差子数列.

考点：1、等差数列；2、等比数列；3、反证法；4、不等式的解法及应用．