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某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口...

某港口满分5 manfen5.com要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口满分5 manfen5.com北偏西满分5 manfen5.com且与该港口相距20海里满分5 manfen5.com处,并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小船沿直线方向以满分5 manfen5.com海里/时的航行速度匀速行驶,经过满分5 manfen5.com小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

 

(1);(2)航行方向为北偏东,航行速度为海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 【解析】 试题分析:(1)设相遇时小艇航行的距离为海里,把表示为关于的函数,配方求得小艇航行速度为多大时小艇的航行距离最小;(2)设小艇与轮船在处相遇,建立 之间的关系式,故,根据,建立关于的不等式,求出的最小值,并求出此时的航行方向. 试题解析:(1)如图,设相遇时小艇航行的距离为海里,则 故当时,,此时. 即小艇以海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在处相遇,则, 故. ∵,∴ 即,解得.又时,,故时,取得最小值,且最小值为. 此时,在中,有,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东,航行速度为海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 考点:1、数学建模;2、不等式. 【方法点睛】(1)设相遇时小艇航行的距离为海里,把表示为关于的函数,建立数学模型,配方求得小艇航行速度为多大时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在处相遇,建立 之间的关系式,把用来表示,根据的范围建立关于的不等式,解不等式,求出的最小值,并求出此时的航行方向.  
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考点分析:
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