Question

已知，求：

（Ⅰ）的对称轴方程；

（Ⅱ）的单调递增区间；

（Ⅲ）若方程在上有解，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ，（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）把看作一个整体，令，解出，即得函数的对称轴；（Ⅱ）根据函数的单调增区间，把看作一个整体，令，解出的范围，即得的单调递增区间；（Ⅲ）方程在上有解，即方程在上有解，也就是函数与的图象有交点，求出函数在的值域，得到关于的不等式，从而求解．

试题解析：（Ⅰ）令，解得，

所以函数对称轴方程为

（Ⅱ）∵，

∴函数的单调增区间为函数的单调减区间，

令，

∴，

∴函数的单调增区间为

（Ⅲ）方程在上有解，等价于两个函数与的图象有交点.

∵∴，

∴，

即得，∴

∴的取值范围为.

考点：1、正弦型函数的对称性；2、正弦型函数的单调区间；3、正弦型函数的最值．

【方法点晴】函数的图象有无数条对称轴，可由方程解出；它还有无数个对称中心，对称中心为；函数的单调区间的确定，基本思想是把函数看作一个整体，由解出的范围，所得区间为增区间，由解出的范围，所得区间为减区间；若，则将函数化为函数，而函数的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间；本题主要考查正弦型函数的性质：单调性，对称性，最值，逻辑推理能力、计算能力以及函数与方程、转化与化归、整体思想，属于中档题．