已知二阶矩阵
的属于特征值-1的一个特征向量为
，属于特征值3的一个特征向量为
，求矩阵
.
已知函数
和
.
（1）当
时，求方程
的实根；
（2）若对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）求证：
．
设
是一个公差大于0的等差数列，且满足
，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列和数列
满足：
，求数列的通项公式
及其前
项和
的表达式；
（3）是否存在正整数
，使得
是
中的项？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
平面直角坐标系
中已知过点
的椭圆
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
两点，点
关于坐标原点的对称点为
，直线
分别交椭圆
的右准线
于
两点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若点
的坐标为
，试求直线
的方程；
（3）记
两点的纵坐标分别为
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
经观察，人们发现蛙鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为
，其中
是蛙鱼在静水中的速度（单位：
），
为行进的时间（单位：
），
为大于零的常数，如果水流的速度为
，蛙鱼在河中逆流行进
.
（1）将蛙鱼消耗的能量
表示为
的函数；
（2）
为何值时，蛙鱼消耗的能量最少？
如图，四边形
为平行四边形，四边形
是正方形，且
.
（1）求证：
；
（2）求证：平面
.
