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已知函数f=xlnx,(a为实数) (1)求f的单调增区间; (2)求函数f在区...

已知函数f满分5 manfen5.com=xlnx,满分5 manfen5.com(a为实数)

(1)求f满分5 manfen5.com的单调增区间;

(2)求函数f满分5 manfen5.com在区间[t,t+1](t>0)上的最小值h(t);

(3)若对任意x满分5 manfen5.com[满分5 manfen5.com,e],都有g(x)≥2exf(x)成立,求实数a的取值范围.

 

(1)增区间为(,+∞);(2)h(t)=;(3)[+3e﹣2,+∞). 【解析】 试题分析:(1)求增区间,只要求得,然后解不等式即得;(2)由于,一定有,由(1),我们只要按和分类即可求得最小值;(3)不等式可化为,也即,因此问题转化为只要求得,在时的最大值即可,利用导数的知识可得. 试题解析:(1)函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞), 令f′(x)=lnx+1>0,解得,x>;故f(x)的单调增区间为(,+∞); (2)由(1)知,f(x)在(0,)上是减函数,(,+∞)上是增函数; ①当0<t≤时,h(t)=f()=﹣; ②<t时,f(x)在[t,t+1]上单调递增; 故h(t)=f(t)=tlnt;故h(t)=; (3)∵g(x)=(﹣x2+ax﹣3)ex,f(x)=xlnx, ∴g(x)≥2exf(x)可化为(﹣x2+ax﹣3)ex≥2ex(xlnx), 即﹣x2+ax﹣3≥2xlnx,即a≥x++2lnx对任意x∈[,e]都成立, 令h(x)=x++2lnx,则h′(x)=1﹣+=, 故h(x)在[,1)上是减函数,在(1,e]上是增函数; 而h()=+3e﹣2,h(e)=e++2, h(e)﹣h()=(e++2)﹣(+3e﹣2)=4﹣2e+<0, 故hmax(x)=h()=+3e﹣2,故a≥+3e﹣2;即实数a的取值范围为[+3e﹣2,+∞). 考点:函数的单调性,函数的最值,不等式恒成立问题.  
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