Question

已知函数在x＝1处有极值10．

（1）求a、b的值；

（2）求的单调区间；

（3）求在[0，4]上的最大值与最小值．

Answer

（1）；（2）在上单调递增，上单调递减；（3）最大值为100，最小值为10．

【解析】

试题分析：（1）函数式中有两个字母，由极值的定义知且，联立方程组解得；（2）令，其解把实数分面若干段，通过列表确定各区间上的符号，及的单调性；（3）由（2）知在上极值，同时求得，比较可得最大值和最小值．

试题解析：（1）由，得a=4或a=-3

（经检验符合）

（2），

由得

列表如下：

1

＋

0

－

0

＋

↗

极大值

↘

极小值

↖

f（x）在上单调递增，上单调递减．

（3）由（2）知: f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，

又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，所以f（x）的最大值为100，最小值为10．

考点：导数与函数的单调性，函数的最值．

【名师点睛】1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

2．当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．

3．求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般利用导数法判断．