Question

已知椭圆：的左右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且满足.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）过作斜率为的直线交于两点. 为坐标原点，若的面积为，求椭圆的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）法一：由椭圆的定义结合已知条件求得，然后在直角中，由勾股定理得到的关系式，从而求得离心率；法二：把点横坐标代入椭圆求得，再由椭圆的定义得到的关系式，进而求得离心率；（Ⅱ）设直线为，联立椭圆方程，设，由韦达定理与弦长公式得到的面积关系求出值，得到椭圆方程．

试题解析：（Ⅰ）法一：由，，

解得，

直角中，由勾股定理得，∴.

法二：点横坐标为，代入椭圆得，

解得，∴.

,∴，∴.

（Ⅱ）椭圆方程化为，直线为：，联立可得，…6分

设，则,得.

的面积为: ，

∴,∴椭圆的方程为.

考点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程．

【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，直角三角形中的勾股定理，得到a，c的关系．