Question

已知是坐标系的原点，是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，弦的中点为，的重心为．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设（1）中的轨迹与轴的交点为，当直线与轴相交时，令交点为，求四边形的面积最小时直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设 ，根据题意列出所满足的式子，再消去参数即可求解；（2）联立直线方程与抛物线方程，将四边形的面积用含的代数式表示出来，求得其最小值以及对应的值即可求解.

试题解析：（1）焦点，显然直线的斜率存在，设 ，

联立，消去得，，设，，，

则，，∴，

∴，消去，得重心的轨迹方程为；（2）由已知及（1）知，，，，，，∵，∴，(注：也可根据斜率相等得到)，

，，点到直线的距离，∴四边形的面积

，

当且仅当，即时取等号，此时四边形的面积最小，

所求的直线的方程为.

考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.直线与抛物线的位置关系．