Question

已知椭圆：的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若椭圆两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点，代入椭圆方程，结合离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知m≠0，可设直线AB的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式，解不等式即可得到所求范围

试题解析：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点

所以

解得

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知，可设直线的方程为

由消去得

因为直线与椭圆有两个不同分交点，

所以 ①

设，，由韦达定理知，

于是线段的中点坐标为

将其代入直线，解得 ②

将②代入①，得

解得或

因此，所求实数的取值范围

考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆相交的相关问题