Question

如图，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在轴上，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为及离心率是，计算即得结论；（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可

试题解析：（1）由已知，点在椭圆上

因此

解得，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由点在轴上，可设点的坐标为

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点，则

由，解得或

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只能为

下面证明：对任意的直线，均有

当直线的斜率不存在时，由上可知，结论正确

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，的坐标为

联立得，其判别式

所以，因此

已知点B关于y轴的对称点为

又，所以，即三点共线，所以

,故存在与P不同的定点使得恒成立

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程