Question

设分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F₁，F₂两点的距离之和等于4.

⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；

⑵过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;

⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.

Answer

⑴椭圆C的方程为⑵4x+4y=5 ⑶x=1

【解析】

试题分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标；（2）设出DE方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，求出斜率，即可求直线DE的方程；（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程，求出△OMN面积，利用导数，确定单调性，可得面积最大值，从而可求直线MN的方程

试题解析：⑴椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；

又点A(1,) 在椭圆上，因此得b2=1，于是c2=3；

所以椭圆C的方程为，

⑵∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，

∴设D(x1,y1),E(x2,y2)，代入椭圆C的方程得

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1

∴DE方程为y-1= -1(x-),即4x+4y=5;

(3)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得

（m2+4)y2+2my-3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-, y1y2=-,且△>0成立.

又S△OMN=|y1-y2|=×=，设t=≥,则

S△OMN=,(t+)′=1-t-2>0对t≥恒成立，∴t=时t+取得最小，S△OMN最大，

此时m=0,∴MN方程为x=1

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程