Question

如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．

（Ⅰ）求证：QC²﹣QA²=BCQC；

（Ⅱ）求弦AB的长．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于PQ与⊙O相切于点A，再由切割线定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC从而命题得到证明

（Ⅱ）【解析】
PQ与⊙O相切于点A，由弦切角等于所对弧的圆周角∠PAC=∠CBA，又由已知∠PAC=∠BAC，所以∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB∽△QCA，由对应边成比例，求出AB的值．

试题解析：（Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，

∴由切割线定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC．

∴QC2﹣QA2=BCQC．

（Ⅱ）【解析】
∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，

∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5

又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC，∴QC=9

由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，∴．

考点：切割线定理及三角形相似.

【方法点睛】（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.