Question

已知函数，直线.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）函数有极小值3，无极大值（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出 当变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数有极小值，无极大值

（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，再求，

求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立． 所以对于任意，直线都不是曲线的切线.

（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证

试题解析：函数定义域为，

求导，得，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，所以，

即，此方程显然无解，所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线.

（Ⅲ）【解析】
“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得.

令，则，其中，且.考察函数，其中，

因为时，所以函数在单调递增，且.

而方程中， ，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.

考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义.