Question

已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（    ）

A.      B.       C.     D.

Answer

C

【解析】

试题分析：∵双曲线的虚轴两端点为，两焦点为．∴，可得直线的方程为，即．∵双曲线的两顶点为，以为直径的圆内切于菱形，∴点到直线的距离等于半径，即，化简得，∵，∴上式化简为，整理得．两边都除以，得，解之得，∵双曲线的离心率，∴，可得，故答案为C.

考点：双曲线的简单性质．

【思路点睛】本题给出以双曲线焦距与虚轴为对角线的菱形，在以实轴为直径的圆内切于该菱形的情况下求双曲线的离心率；着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式和直线与圆锥曲线的位置关系等知识；根据题意，可得直线的方程为．由以为直径的圆与直线相切，可得点到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式建立关于的等式，化简整理得到关于离心率的方程，解之即可得到该双曲线的离心率的值．