Question

如图，圆的直径的延长线与弦的延长线交于点，是圆上的一点，弧AE与弧AC相等，与交于点，.

（Ⅰ）若，，，求；

（Ⅱ）证明：PFPO=PAPB.

Answer

（Ⅰ）BF=3；（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由相交弦定理得，代入求得，再根据，得BF的值。（Ⅱ）因为弧AE与弧AC相等，由圆周角定理，得；由等角的补角相等，得；证得，由相似三角形的性质，得；由切割线定理的推论，得，由此证得.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由相交弦定理，得，

即，

解得，

因为，所以BF=3.

（Ⅱ）证明：连接，OE.

因为弧AE等于弧AC，所以，

所以，

又，所以POC∽PDF，

所以，即，

又因为，

所以.

考点：相交弦定理；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；切割线定理.