Question

已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；

（3）若对于任意都有f（kx²）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）（2）f（x）在R上单调递减；证明见解析（3）（﹣∞，﹣1）．

【解析】

试题分析：（1）根据f（x）为R上的奇函数便有，这样即可求出a，b，从而得出；

（2）分离常数得到，可看出f（x）在R上单调递减，根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2），这样便可得出f（x）在R上单调递减；

（3）根据f（x）为奇函数且为减函数便可得到kx2＜1﹣2x对任意恒成立，从而有对任意恒成立，可设，求导数g′（x），根据导数符号便可得出x=1时，g（x）取最小值﹣1，从而得出k的取值范围．

【解析】
（1）f（x）为R上的奇函数；

∴；

解得a=2，b=1；

∴；

（2）；

x增大时，f（x）减小，f（x）在R上为减函数，证明如下：

设x1＜x2，则：

=；

∵x1＜x2；

∴，；

又；

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在R上单调递减；

（3）f（x）为R上的奇函数，∴由f（kx2）+f（2x﹣1）＞0得：f（kx2）＞f（1﹣2x）；

又f（x）单调递减；

∴kx2＜1﹣2x对任意恒成立；

∴对任意x恒成立；

设g（x）=，；

∴时，g′（x）＜0，x∈（1，3]时，g′（x）＞0；

∴x=1时，g（x）取到最小值﹣1；

∴k＜﹣1；

∴实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．

考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．