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已知椭圆E:过点(0,﹣1),且离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)如图,...

已知椭圆E:满分5 manfen5.com过点(0,﹣1),且离心率为满分5 manfen5.com

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(1)求椭圆E的方程;

(2)如图,A,B,D是椭圆E的顶点,M是椭圆E上除顶点外的任意一点,直线DM交x轴于点Q,直线AD交BM于点P,设BM的斜率为k,PQ的斜率为m,则点N(m,k)是否在定直线上,若是,求出该直线方程,若不是,说明理由.

 

(1)(2)理由见解析 【解析】 试题分析:(1)由已知得b和,结合隐含条件a2=b2+c2求得a,b的值,则椭圆方程可求; (2)由题意求出A,B,D的坐标,得到直线AD的方程,再设出直线BP方程,联立两直线方程求得P的坐标,联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标,再由M,D,Q三点共线求得Q的坐标,代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率,整理后即可得到关于k,m的等式,则可求得点N(m,k)所在定直线方程. 【解析】 (1)依题意,b=1,,又a2=b2+c2, ∴3a2=4c2=4(a2﹣b2)=4a2﹣4,即a2=4. ∴椭圆E的方程为:; (2)由(1)知,A(﹣2,0),B(2,0),D(0,1), ∴直线AD的方程为y=, 由题意,直线BP的方程为y=k(x﹣2),k≠0且k, 由,解得P(), 设M(x1,y1),则由,消去y整理得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0. ∴,即,. 即M(), 设Q(x2,0),则由M,D,Q三点共线得:kDM=kDQ,即, ∴,则, ∴PQ的斜率m=. ∴2k+1=4m,即点N(m,k)在定直线4x﹣2y﹣1=0上. 考点:椭圆的简单性质.  
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考点分析:
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