Question

平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（a＞b＞0）右焦点的直线l：y=kx﹣k交C于A，B两点，P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为．

（Ⅰ） 求C的方程；

（Ⅱ） x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有∠AQO=∠BQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将直线y=x﹣1代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，解得a，b，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，即可得到结论．

【解析】
（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．

当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，

则，

于是，

所以AB中点P的坐标为，

OP的斜率为，所以b=1，．

从而椭圆C的方程为；

（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，

化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

所以，，

直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．，

当m=2时，kAQ+kBQ=0，

所以存有点Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO．