Question

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，；

②函数有2 个零点；

③的解集为；

④，都有．

其中正确命题的序号是（   ）

A．①③      B．②③       C．②④       D．③④

Answer

D

【解析】

试题分析：由题意可知，，可见命题①是错误的；时，，此时有个零点，当，，此时有个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有个零点，即命题②不成立；，，可求得解为，，，可求得解为，所以命题③成立；时，，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则时的值域为，所以有.

考点：奇函数的解析式与性质.

【思路点睛】本题主要考查奇函数的性质，因为及函数关于原点对称，所以只要知道纵轴一侧的函数解析式，即可利用来求得函数在另一侧的解析式；对于奇函数的零点个数，要注意，当定义域包含时，函数零点个数肯定为奇数，相反则为偶数；而对于命题四，则需要先求得函数的值域，而的最值则为函数值域端点值的差.本题也可利用排除法，前面已经证明命题①②是错误的，根据选项可直接选择D.