Question

已知函数.

（Ⅰ）设函数，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数的取值范围.

Answer

（I）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；（II） 或.

【解析】

试题分析：（I）由函数可知函数，显然无法利用单调性的定义来求单调区间，所以用导函数法来求其单调区间，，对进行分类讨论，并令可求得的单调区间；（II）由题意可得在区间上有解，即的极小值（最小值）为负数或零，结合的单调性，列不等式，求的取值范围.

试题解析：(1) ,定义域为（0，+∞），

①当 即 时，令 ，

令 ，得 故 在上单调递减，在 上单调递增

②当 即 时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。

综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

当时，的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。

（2）由题意可知，不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，

即在[1，e]存在 使得 成立，

由（1）中，则在[1，e]存在使得

即函数在[1，e]上的最小值

由（1）知，当时，在[1，e]上单调递增，

当时

①当 即 时，在[1，e]上单调递减，

②当即 时，在[1，e]上单调递增，

,无解

③当即 时，在上单调递减，在 上单调递增 此时 ，不合题意。

综上可得，实数的取值范围是 或

考点：导函数的运用，函数的单调性与最值.

【方法点睛】对于较复杂或者高次函数以及含有参数的函数，其单调区间无法直接找出来，需要利用导函数来求，导函数的征服欲与函数的单调性有如下的关系：在区间上为增函数，相反为减函数.如果函数中含有参数，则要对参数进行分类讨论；对于不等式有解的问题，可以转化为函数的最值的范围，如题中≤有解可以转化为在上的最小值为福负数或零，再利用函数的单调性求函数在该区间最小值即可.