Question

已知F（，0）为抛物线（p＞0）的焦点，点N（，）（＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=，．

（Ⅰ）求抛物线方程和N点坐标；

（Ⅱ）判断直线中，是否存在使得面积最小的直线，若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（I），；（II）存在，，的方程为．

【解析】

试题分析：（I）由焦点横坐标可求得，从而得到抛物线方程，由抛物线准线的性质可知，可求得，进一步求得点的坐标；（II）由第一问可知,假设直线存在，为，与抛物线联立，求出两点坐标，再结合所满足的关系，可得到直线方程为，点已知，这样可求出面积面积关于的函数，从而判断最小值是否存在，及存在时的直线方程.

试题解析：（I）由题意，则，

故抛物线方程为。

由|NF|=，则。

∵，

∴，

所以N（2,2）。

(II)由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为。

联立方程组，得。

设两个交点A（，），B（，）（≠±2，≠±2），则

由，整理得

。

此时，恒成立。

故直线的方程可化为，从而直线过定点E（3，-2）。

因为M（2，-2），

所以M,E所在直线平行x轴，

所以△MAB的面积当t=-2时有最小值为，此时直线的方程为。

解法二：（2）当l的斜率不存在时，（舍） 或，此时△MAB的面积

当斜率存在时，设

，

得或舍

点M到直线的距离 ，

综上，所以△MAB的面积最小值为，此时 直线的方程为

考点：抛物线准线的运用，直线的斜率函数的最值.