Question

已知函数，．

（1）若设，求出的取值范围（只需直接写出结果，不需论证过程）；并把表示为的函数；

（2）求的最小值，；

（3）关于的方程有解，求实数的取值范围．

Answer

(1) ;(2) ;(3)

【解析】

试题分析：(1)首先根据完全平方公式展开，将表示为后，将函数表示为的二次函数；

（2）根据（1）的结果，，，讨论对称轴和定义域的关系，分，以及三种情况讨论函数的最小值；

（3）方程有解，即方程在上有解，因为，，求定义域内的范围，就是的范围，最后再求的范围.

试题解析：（1）

, ∴

表示为的函数

（2），

当时，

当时，

当时，，

∴

（3）方程有解，即方程在上有解，而

∴，

可由单调性定义证明在上单调递减，上单调递增

，

又为奇函数，∴当时

∴的取值范围是

考点：1.指数函数；2.二次函数.

【方法点睛】对于含参求二次函数的最值问题，（1）轴动，定义域不变时，比如此题对称轴是，定义域是时，那就分对称轴是否在区间内，根据对称轴的位置确定定义域内函数的单调性，根据单调性求函数的最值；（2）轴不变，定义域变时，比如对称轴是，定义域是，同样是考查对称轴是在定义域的右边，之间或是左边，根据对称轴的位置确定定义域内二次函数的单调性，确定函数的最值.对应第三问，方程有解的问题，可以采用参变分离，转化为求的范围就是求定义域内求的范围.