Question

已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

(1)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

Answer

(1)详见解析；（2）当的斜率为或时，四边形为平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；

（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.

试题解析：【解析】
(1)设直线，，，．

∴由得，

∴，．

∴直线的斜率，即．

即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

（2）四边形能为平行四边形．

∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，

由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．

∴由得，即

将点的坐标代入直线的方程得，因此．

四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即

∴．解得，．

∵，，，

∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．

考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用

【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，

（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.