Question

已知点是圆上任意一点（是圆心），点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线经过，与抛物线交于两点，与交于两点．当以为直径的圆经过时，求．

Answer

(1)；（2）.

【解析】

试题分析：(1)根据中垂线的性质，,这样，转化为椭圆的定义，根据定义写出椭圆方程；

（2）设直线方程，斜率存在时和椭圆方程联立，利用韦达定理写出根与系数的关系，然后根据以为直径的圆经过时，有，代入坐标关系，最后根据直线方程，根据根与系数的关系求，最后代入抛物线的焦点弦长公式.

试题解析：【解析】
（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，

从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，

∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆

其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，

∴椭圆方程为：

（Ⅱ）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），

此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件．

当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1）

由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．

设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，

因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（﹣1，0）

所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0

所以解得k2=，

由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k≠0，

设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4==2+，x3x4=1

所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．

考点：1.椭圆的定义；2.直线与圆锥曲线的位置关系.