Question

如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E的位置.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）证明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，

∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），C1（0，0，），B1（﹣，0，），

∴=（0，2，﹣），

设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）

设平面AC1E的一个法向量为=（x，y，z），由，得，

令z=，取=（，1，），

又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）

所以cos＜，＞===，解得λ=．

所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．

考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.

【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.