Question

如图，四棱锥的底面是平行四边形，,

(1) 证明：

(2) 若二面角为, 求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

(1)详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1)要证明线面平行，根据判定定理，关键是证明线线平行，所以取中点,连接,根据中位线和平行四边形证明四边形为平行四边形,所以证明了,再写成线面平行；

（2）连接,根据平面,和,得到,同时得到边长和,根据线面垂直的性质定理，得到平面,所以即为所求线面角，.

试题解析：(1)证明：取PB的中点M，连接MF, AM.

又∵F为PC的中点，∴,

∵E为AD的中点，ABCD是平行四边形，∴,

∴, ∴四边形AEFM为平行四边形

∴,

又∵平面PAB,平面PAB,

∴平面PAB.

（2）∵ 且 E为AD的中点 ,

∴,

∴∠为二面角的平面角， ∴∠

∵ ∴,

∵∠，∴

∵, ∴

∵, ∴,

由，，∴平面PBC,

∴∠为直线与平面所成角,

∵

,

∴直线与平面所成角的正弦值为.

考点：1.线面平行的判定；2.线面角.

【一题多解】证明线面平行，一般方法可以是通过本题所给的方法，证明线线平行，得到线面平行，也可以通过面面平行，证明线面平行，如，取中点,连接,这样证明从而证明平面平面,平面,所以线面平行，（2）问求线面角，也可以以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设线面角为，根据公式，求线面角.