Question

已知点,是函数图象上的任意两点,且角的终边经过点,若时,的最小值为．

（1）求函数的解析式；

（2）若方程在内有两个不同的解,求实数的取值范围．

Answer

(1) ；(2) .

【解析】

试题分析：(1)由角的终边经过点可得，由时,的最小值为可得周期得，即可求出函数的解析式；（2）先解得在的值域，将问题转化成一元二次方程在给定的范围内解的个数问题，再将一元二次方程个数问题转化成二次函数与直线交点为个数问题，可解得的值.

试题解析：（1）角的终边经过点，，，．

由时,的最小值为，得，即，．

∴

(2） ∴，∴．设，

问题等价于方程在（0，1] 内有两个不同的解．

∵m = 3t2 t，t (0, 1]． 作出曲线C：y = 3t2 t，t (0, 2)与直线l：y = m的图象．

∵t =时，y =；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2．

∴当时，直线l与曲线C有两个公共点．

∴m的取值范围是：.

考点：函数的图象、二次函数图象、一次函数图象.

【思路点晴】第一问考查了三角函数的定义、函数性质．由题意很容易求出的解析式。第二问通过换元法将复合函数问题转化成一元二次方程在给定定义域内的解的个数问题，再转化成二次函数与一次函数交点个数问题，重点考查了转化与化归的思想，对学生的能力的考查比较着重．本题属于难题.