Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对任意不相等的，恒有成立，求非负实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）当时，在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域，再对函数进行求导，并结合对的讨论，即可得到函数在不同区间上的单调性；（Ⅱ）先将对任意不相等的，恒有成立进行等价转化，并结合构造单调函数，再把从恒成立的不等式中分离出来，进而可求出的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为，

当时恒成立，

所以当时在区间上单调递增

当，若，；若，

所以当时，函数在区间上单调递减；

在区间上单调递增

(Ⅱ)不妨设，又，所以在区间上单调递增，

恒成立，等价于恒成立，即就是恒成立

令，则为单调递增函数

即就是恒成立

令

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式恒成立问题.

【思路点晴】本题是导数在函数研究中的应用、极端不等式恒成立等综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：对于问题（Ⅰ），先确定函数的定义域，再对函数进行求导，并结合对的讨论，即可得到函数在不同区间上的单调性；对于问题(Ⅱ) 先将对任意不相等的，恒有成立进行等价转化，并结合构造单调函数，再把从恒成立的不等式中分离出来，进而可求出的取值范围.