Question

已知椭圆C: 的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N（如图）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求的最小值，并求此时圆T的方程；

（Ⅲ）设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点.求证：为定值.

Answer

（I） ；（II），；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）根据椭圆的离心率为 ，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，得进而可求，最后求椭圆的方程；（II）设表示，利用配方法求最小值，可得的坐标，从而可得圆的半径，即可求此时圆的方程；(Ⅲ) 假设存在满足条件的点，设，用表示，化简为定值， 即可得出结论.

试题解析：（I）由题意知又因为 解之得，由得，

故椭圆方程为 .

（II）设

，

此时 圆的方程为 .

(Ⅲ)设

由三点共线可得 , 同理可得,

为定值 .

考点：1、待定系数法求椭圆的方程；2、向量的数量积公式以及利用三角函数求最值.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、向量的数量积公式以及三角函数求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（II）就是用的这种思路，利用三角函数求 最大值的.